无套利定价理论

买入一定的资产并随即卖出(或者相反),利用其中差价获利的行为,称之为套利(arbitrage)。无套利(no-arbitrage)假设,是金融产品以及衍生品定价理论的基本假设。其内涵就是,由于市场流动性和信息透明性,市场上不存在套利机会,世上没有免费的午餐。

利用无套利定价理论为金融产品定价时,常常构造两个相反的投资组合(portfolio),模拟同一个交易的双方,金融产品的定价使得双方均不可能在交易中套利。

举例来说,一份合约约定,一年后支付给你 \(A = 100\) 元,你当前愿意花多少钱购买这份合约?

是 \(100\) 元吗?假设你花 \(100\) 元购买的这份合约,对方把收到的钱用于投资(比如存入银行或者购买国债),利率为 \(r=3\%\),一年后他收入 \(A(1+r)=103\) 元,却只需要支付 \(100\) 元给你,套利 \(3\) 元——你会这么傻?即使你傻,金融市场上其他卖方见到套利机会也会蜂拥而至,傻子很快不够用了,卖方为了套利不惜降价,直至套利机会不存在。

那么这份合约定价多少才能让卖方无套利机会呢?设定价为 \(p\),卖方收到钱后用于投资,一年后得到 \(p(1+r)\) 元,卖方无法套利的条件是: \[ p(1+r) - A \le 0 ,\tag{1} \] 作为买方,你可以以利率 \(r\) 贷入 \(p\) 元用于购买合约,一年后收入 \(A\) 元并偿还 \(p(1+r) \) 元,假设你也不存在套利机会(否则这样的合约有多少给我来多少),有: \[ A-p(1+r) \le 0, \tag{2} \] 由 \((1),(2)\) 可知: \[ p=\frac{A}{(1+r)}=97.09. \] 以上可以看出,无套利假设得以成立,建立在这样几个条件之上:

  1. 市场具有足够的流动性(markets are liquid),即市场上有足够多的买方和卖方。
  2. 买卖双方都能获得价格信息。
  3. 供求双方的竞争会修正实际价格和无套利价格之间的偏差。

这个例子也说明了,未来的 \(100\) 元没有当下的 \(100\) 元值钱(\(97.09 \lt 100\))。在计算未来现金流的价格时,总要根据利率打点折扣。

上面的例子之所以能给出准确定价,是由于假设了存贷款利率相等,而通常情况下,贷款利率 \(r_B\) 总不低于存款利率 \(r_L\)(银行也不会白给你套利机会的),这时就只能给出 \(p\) 的取值范围: \[ \frac{A}{(1+r_B)} \le p \le \frac{A}{(1+r_L)} \] 这时候,\(p\) 在取值范围内,具体值由供求关系决定。

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